Pengertian, Rumus dan Contoh Barisan dan Deret Geometri Beserta Pembahasannya Lengkap

Posted on

Barisan dan Deret Geometri – Di kelas 8 kita akan mempelajari materi tentang barisan dan deret, ada dua materi barisan dan deret yaitu barisan dan deret aritmatika & barisan dan deret geometri. Nah kali ini kita akan membahas barisan dan deret geometri mulai dari pengertian barisan dan deret geometri, rumus barisan dan deret geometri serta contoh barisan dan deret geometri.

Pengertian dan Rumus Barisan Geometri

Barisan Geometri adalah barisan yang tiap-tiap sukunya diperoleh dari hasil perkalian suku sebelumnya dengan sebuah konstanta tertentu.

Selain itu, pengertian barisan geometri adalah barisan yang memenuhi sifat hasil bagi suatu suku dengan suku sebelumnya berurutan bernilai konstanta. Misalnya barisan geometri tersebut a,b, dan c maka c/b =b/a sama dengan konstanta. Hasil bagi suku yang berdekatan disebut dengan rasio (r).

Misal ditemukan suatu deret geometri

U1, U2, U3,…,Un-1, Un
Maka U2/U1, U3/U2,…, Un/Un-1 = r (konstan atau rasio)

Lalu bagaimana menentukan suku ke-n dari barisan geometri:
U3/U2 = r maka U3 = U2.r = a.r.r = ar2
U4/U3 = r maka U4 = U3. r = a.r2.r = ar3 sejalan dengan
Un/Un-1 = r maka Un = Un-1. r = arn-2.r = arn-2+1 = arn-1
jadi dapat disimpulkan bahwa rumus suku ke-n barisan geometri yaitu

Un = arn-1

Keterangan:
a= suku awal
r= rasio

Agar kalian lebih memahami apa yang dimaksud dengan barisan geometri. Perhatikan contoh berikut ini:

3, 9, 27 , 81, 243, …

Barisan di atas merupakan contoh barisan geometri dimana setiap suku pada barisan tersebut merupakan hasil dari perkalian suku sebelumnya dengan konstanta 3. Maka bisa disimpulkan bahwa rasio pada barisan di atas adalah 3. Rasio pada suatu barisan bisa dirumuskan menjadi:

r = ak+1/ak

Dimana ak adalah sembarang suku dari barisan geometri yang ada dan ak+1 yaitu suku selanjutnya setelah ak. Untuk menentukan suku ke-n dari barisan geometri, kita bisa menggunakan rumus sebagai berikut:

Un = arn-1

Dengan a adalah suku awal dan r adalah nilai rasio dari barisan geometri.

Pengertian dan Rumus Deret Geometri

Deret geometri bisa diartikan sebagai jumlah dari n suku pertama pada sebuah barisan geometri. apabila suku ke-n dari suatu barisan geometri digambarkan dengan rumus: an = a1rn-1, maka deret geometrinya dapat dijabarkan menjadi:

Sn = a1 + a1r + a1r2 + a1r3 + … + a1rn-1

Jika kita mengalikan deret geometri di atas dengan -r, kemudian kita jumlahkan hasilnya dengan deret aslinya, maka kita akan memperoleh:

Setelah diperoleh Sn-rSn = a1-a1rn maka kita bisa mengetahui nilai dari suku n pertama dengan cara sebagai berikut:

Berdasarkan kepada hasil perhitungan di atas, maka bisa disimpulkan bahwa rumus jumlan n suku pertama pada sebuah barisan geometri ialah:

Sisipan Barisan Geometri

Dalam barisan geometri terdapat sisipan. Misalnya antara p dan q ada sisipan k buah bilangan dan terjadi barisan geometri, maka rasio barisan geometri dapat dicari dengan rumus:


Suku Tengah Barisan Geometri

Apabila U1, U2,…,Un merupakan barisan geometri dengan n ganjil maka suku tengah barisan geometri tersebut dapat dicari dengan rumus berikut ini:

Deret Geometri Tak Hingga

Saat bola bekel dijatuhkan dari ketinggian 1 meter maka bola tersebut akan memantul keatas sejauh 0,8 tinggi jatuh sebelumnya, lalu berapa jarak yang ditempuh bola bekel hingga berhenti?

Ini merupakan contoh deret geometri tak hingga yaitu deret yang banyak sukunya tak terhingga. Jumlah suku dari deret tak hingga ada kemungkinan hingga atau tak hingga. Apabila deret tersebut hingga maka deret tersebut disebut deret konvergen dan Apabila tak hingga disebut deret divergen. Lebih jelasnya, apabila jumlah deret tak hingga menuju ke suatu harga tertentu yang berhingga maka disebut deret konvergen (mengerucut). Sebaliknya, deret geometri yang menuju bilangan tak hingga disebut deret divergen.

Deret tak hingga yang memiliki rasio r ≥ 1 atau r ≤ 1 disebut deret divergen dan yang memiliki rasio -1< r < 1 disebut deret konvergen. Untuk menghitung deret tak hingga ada dua rumus tergantung pada nilai r.

Contoh Soal Barisan dan Deret Geometri Beserta Penyelesaiannya

1. Sebuah amoeba mampu melakukan pembelahan diri menjadi 6 setiap 15 menit. berapakah jumlah amoeba yang ada setelah 1 jam jika sebelumnya terdapat 3 buah amoeba?
Cara penyelesaian:

Diketahui:
a = 3
r = 6
n = 1 jam/15 menit = 60/15 = 4

Ditanya: U4…?

Jawab:
Un = arn-1
U4 = 3 x 64-1
U4 = 3 x 216 = 648 amoeba

2. Tentukanlah jumlah 5 suku pertama dari barisan geometri 4, 8, 16, 32..
Cara penyelesaian:

Diketahui:
a = 4
r = 2
n = 5

Ditanya: S5..?

Jawab:
Sn = a (1-rn) / (1-r)
S5 = 4 (1-25) / (1-2)
S5 = 4 (1-32)/ (-1)
S5 = 4 (-32)/ (-1)
S5 = 4 x 32
S5 = 128

2. Tentukan jumlah suku-suku deret geometri tak hingga dari 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + …
Cara Penyelesaian:

Diketahui:
a = 1
r = 0,5

Ditanya: S∞..?

Jawab:
S∞ = a/1-r
S∞ = 1/1-0,5
S∞ = 1/0,5
S∞ = 2

Itulah artikel yang membahas tentang Pengertian, Rumus dan Contoh Barisan dan Deret Geometri Beserta Pembahasannya Lengkap  . Semoga informasi yang diberikan bermanfaat bagi pembaca dan dapat dijadikan sebagai sumber literatur dalam pembelajaran.

Content Protection by DMCA.com